RUANG BARIS,RUANG KOLOM, DAN RUANG NUL

NAMA                 : NADYA AURA SALZABILA RAMADHANI

NIM                     : 202231008

KELAS               : A

PRODI               : TEKNIK INFORMATIKA

MATKUL          : ALJABAR LINEAR

 

Devinisi (Vektor-vektor baris dan kolom) 

Misalkan A adalah suatu matriks m x n, 

 

vektor-vektor

  

dalam R n yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor-vektor baris dari A.

  

Pada Rm yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A disebut sebagai matriks kolom. 

Definisi

Jika Aadalah matriks matriks 𝑚×𝑛 maka subruang dari 𝑅^n yang direntang oleh vektor -vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dari 𝑅^m yang yang direntang oleh vektor -vektor kolom dari dari A disebut disebut ruang kolom dari A. Ruang solusi dari sistem persamaan yang yang homogen 𝐴𝑥=0 yang merupakan subruang dari 𝑅^n disebut ruang null dari A.

Teorema 

Jika A dan dan B adalah matriks -matriks yang ekuivalen baris, maka

1. Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari dari A tertentu adalah bebas linear jika dan hanya jika vektor – vektor kolom yang bersesuaian dari B adalah bebas linear
2. Suatu himpunan vektor-vektor kolom kolom dari A tertentu membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor -vektor kolom yang bersesuaian dari B membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B.

Teorema 

Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R dan Vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk Suatu basis untuk ruang kolom dari R

Teorema 

Jika A adalah matriks sebarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama.

Jika A adalah matriks dengan n kolom, maka : 

Rank (A) + Nulitas (A) = n 

Contoh : 

 

 

dengan melakukan OBE diperoleh : 

 

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE 

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : 

Rank (A) = 2 

Basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE 

pada AT sehingga diperoleh :

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama bersesuaian dengan matriks  AT 

Ini berarti, 

matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : 

rank(A) = 2

nulitas (A) = n - rank (A) 

                  = 4 - 2 

                  = 2