Basis Dan Dimensi

 NAMA           : NADYA AURA SALZABILA RAMADHANI

NIM                : 202231008

KELAS          : A

PRODI          : TEKNIK INFORMATIKA

MATKUL     : ALJABAR LINEAR

BASIS DAN DIMENSI

A. Ruang -N Euclides 

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (X1, X2, X3, ... , Xn). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rn.

Definisi. Misalkan u = [u1, u2, ... , un]; v = [v1, v2, ... , vn] vektor di Rn

• u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2, ... , un = vn
• u + v = [u1 +  v1 . u2 + v2, ... , un + vn]
• ku = [ku1 + ku2, ... , kun]
• u • v = u1 v1 + u2 v2 + ... + un vn 
• | u | = (u.u) ½ = 

B. Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi : 

1. Jika u dan v vektor-vektor di V maka u + v juga berada di V.
2. u+v = v u 
3. u+(v+w) = (u+v) + w
4. Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u = u+0
5. Untuk setiap u di V terdapat -u di V sehingga u+(-u) = -u+u = 0
6. Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V
7. k(u+v) = ku+kv
8. (k + l) u = ku + lu
9. k(lu) = (kl)u
10. 1u = u

C. Kombinasi Linier 

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2, ... , un. Jika vektor tersebut dinyatakan dalam bentuk : 

                              x = k1u1 + k2u2 + .. + knun

dimana k1, k2, ... , kn adalah skalar. 

Contoh : 

Misalkan, u = [2, -1, 3]T, v = [1, 2, -2]T, apakah x = [8, 1, 5]T kombinasi linier dari u dan v 

Jawab = 

Perhatikan kombinasi linier x = k1u + k2v

              [8, 1, 5]T, = k1[2, -1, 3]T + k2 [1, 2, -2]T  ⇒ x = 3u + 2v

Dari kesamaan vektor diperoleh